解説はおなじみ地の守護聖ルヴァ様です。
それではルヴァ様、よろしくお願いします。


A1

はい〜、それではまず第１問から説明しましょうね〜。
こんな問題でした。

４つの箱のいくつかには中に宝物が入っている。
１）　ＡとＢのどちらか少なくとも一方に宝物が入っているのなら、Ｄには宝物が入っている。
２）　ＡとＣのどちらか少なくとも一方に宝物が入っているのなら、ＢとＤのどちらか少なくとも一方には宝物が入っていない。
３）　ＡとＤのどちらか少なくとも一方に宝物が入っているのなら、Ｂには宝物が入っている。
という条件から、Ａについていえるのは、次のどれか？
　ａ：　宝物が入っている。
　ｂ：　宝物が入っていない。
　ｃ：　宝物が入っているかもしれないし、宝物が入っていないかもしれない。

漫然と読むとややこしく感じられるかも知れませんが、これはそんなに難しくない問題ですから、文章を正確に読み取って考えてくださいね。

１）、２）、３）の条件部分を見ると、全てにＡが入っていますから、Ａを軸にして考えてみましょう。
ところで、
「少なくとも一方に入っている」の否定は「どちらにも入っていない」
「少なくとも一方には入っていない」の否定は「どちらにも入っている」
となることはおわかりですね？

さあ、ではＡには宝物が入っている、と仮定してみましょう。
仮定：Ａには宝物が入っている。
１）から、Ａに入っているのでＤには宝物が入っています。
３）から、Ａに入っているのでＢには宝物が入っています。
ということは、Ａに入っていれば、ＢとＤのどちらにも宝物が入っていることになります。…Ｘ
そこで２）を見てみましょう。
Ａに入っているので、ＢとＤのどちらか少なくとも一方には宝物は入っていないことになります。…Ｙ
ＸとＹは矛盾していますから、この仮定は成り立ちません。

Ａに宝物が入っているとした仮定が成り立たないのですから、Ａには宝物は入っていません。

以上です。
おわかりになりましたか。
ええ、もちろん違うやり方でも証明できます。
今は１）と３）から２）の矛盾を指摘しましたが、
１）と２）から３）が矛盾する、と言っても、３）と２）から１）が矛盾すると言っても大丈夫です。
Ａに入っている、と仮定すればどんなルートでも簡単に矛盾が指摘できると思いますよ。

従って、答は
ｂ．宝物が入っていない。
となります。

ええ、子供たちもちゃんと正解を持ってきましたよ。
約束どおり、次回の学習会はお休みになります。
私もリュミエールと一緒に森の湖にでも出掛けましょうか…



A2

では、次の問題を考えてみましょう。
こんな問題でしたね。

ここに何人かの人たちがいて、その人たちに赤、白、青の帽子のどれかを被せた。
自分の帽子の色は見えないが、他の人の帽子は全部見える。
この人たちに
「赤い帽子が１つでも見えたら手を上げるように」と言ったら全員が手を上げた。
「白い帽子が１つでも見えたら手を上げるように」と言ったら全員が手を上げた。
「青い帽子が１つでも見えたら手を上げるように」と言ったら全員が手を上げた。
その後で
「自分の帽子の色がわかったら手を上げるように」と言ったら全員が手を上げた。
では、この、帽子を被った人たちは何人いるか。


帽子の色を当てる問題は様々なバリエーションがあります。
これもその一つですが、なかなか面白い問題だと思いますよ。
状況をよく想像して、判断してくださいね。

さあ、順番に考えてみましょう。
どの色の場合にも全員が手をあげていますから、赤い帽子も白い帽子も青い帽子もあることになります。
さて、
「赤い帽子が１つでも見えたら」という条件で全員が手を上げる為には、赤い帽子は最少いくつ必要でしょうか。
ええ、最少でも２つは必要ですね。
もし１つしかないなら、赤い帽子を被っている人には赤い帽子が見えないことになります。
同じように、白い帽子と青い帽子も最少２つは必要となります。
つまりこの状況が成立する最少人数は３色２人ずつで６人です。

次に、全員が自分の帽子の色がわかった、ということを考えてみましょう。
まず同色が２人の場合を考えます。
赤い帽子を被っている人が２人としてみましょう。
赤い帽子を被っている人には赤い帽子が１つ見えています。
この場合、その人が
「私に見える赤い帽子は１つだけだが、赤い帽子が見えたら手を上げろと言われたとき、あの赤い帽子を被った人も手をあげていた。もし私の帽子が赤でないならばあの人には赤い帽子が見えないはずだから、私の帽子は赤いということになる」
と考えれば自分の色がわかります。
白い帽子でも青い帽子でも同じことです。
つまり、同色が２人ずつの時には全員が自分の色を推理することができます。

では同色の帽子を被っている人が３人いるときはどうでしょう。
赤い帽子を被っている人が３人としてみましょう。
赤い帽子を被っている人には、赤い帽子が２つ（仮にＡ、Ｂとしましょう）見えています。
この場合、その人は
「赤い帽子Ａを被った人が手をあげたのは赤い帽子Ｂを見たからかもしれない。それなら私の帽子は何色でも構わない」
と考えて、自分の色はわからないことになります。
もちろん、白い帽子でも青い帽子でも同じことです。
同色が３人以上いるときにはその人は自分の色を推理することができません。
つまり、全員が自分の色を推理できるのは、同色の帽子を被っている人が２人までのときとなります。
ならば、この状況が成立する最大人数は３色２人ずつで６人です。

最少人数が６人、最大人数が６人、ということは、人数は６人に決まりですね。

ということで、答は　６人　となります。

あ〜、ちょっと付け足しておきますね。
Ｓさんが、面白い別解を指摘してくださったんですよ。
興味のおありの方はこちらへどうぞ　⇒⇒　
Ｓさん、どうもありがとうございました。



えーと、解答はこんなところですが、よろしいですか？



はい、ルヴァ様ありがとうございました。

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次回、第１０５回の問題編は、２月１５日の夜中頃になる予定です。